Hela algebra · 2019-05-08

Uppgift 5

Uppgift 5

Betrakta linjerna $L_1$ och $L_2$, där

$$L_1 : (x, y, z) = (0, 5, 0) + t(1, 2, 1)$$

för $t \in \mathbb{R}$, och $L_2$ är skärningslinjen för planen $x + y - z = 3$ och $y + z = 2$.

(a)

Avgör hur linjerna ligger i förhållande till varandra, om de är parallella, sammanfallande, skärande eller skeva.

(b)

Bestäm ekvationen för det plan $\Pi$ som innehåller $z$-axeln men som inte skär $L_1$.

(c)

Bestäm den ortogonala projektionen av linjen $L_1$ på planet $\Pi$. Ledning: Den ortogonala projektionen av en punkt $P$ ges av ortogonala projektionen av dess ortsvektor $\overrightarrow{OP}$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L_2$ ges av
$$(x,y,z)=(1,2,0)+s(2,-1,1),\qquad s\in\mathbb R.$$
Alltså är $\vec v_1=(1,2,1)$ en riktningsvektor för $L_1$ och $\vec v_2=(2,-1,1)$ en riktningsvektor för $L_2$. Dessa är inte parallella, så linjerna är skärande eller skeva. Letar vi efter skärningspunkter genom att lösa
$$(0,5,0)+t(1,2,1)=(1,2,0)+s(2,-1,1)$$
får vi $t=s=-1$, så linjerna skär varandra i punkten $(-1,3,-1)$.

(b) Planet $\Pi$ är parallellt med $\vec e_3$ och $\vec v_1$, så en normalvektor $\vec n$ fås av
$$ \vec n=\vec e_3\times\vec v_1= \begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\0&1&1\\1&2&1\end{vmatrix} =-2\vec e_1+\vec e_2=(-2,1,0). $$
Planet $\Pi$ har därför ekvationen $-2(x-0)+(y-0)+0(z-0)=0$, dvs. $2x-y=0$.

(c) Projektionen på $\Pi$ av punkten $P=(0,5,0)\in L_1$ är en punkt $Q$ som ges av
$$ \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}-\operatorname{Proj}_{\vec n}(\overrightarrow{OP}) =\overrightarrow{OP}-\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\vec n}{|\vec n|^2}\vec n =(0,5,0)-\frac55(-2,1,0)=(2,4,0). $$
Projektionen av $L_1$ är därmed $$(x,y,z)=(2,4,0)+t(1,2,1).$$