Hela algebra · 2019-05-08
Avbildningen $F$ har matrisen
$$A = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}$$
i rummets standardbas. Betrakta vektorerna
$$\mathbf{e}'_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(2, 0, 1)$$
$$\mathbf{e}'_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 0, -2)$$
$$\mathbf{e}'_3 = (0, 1, 0).$$
Visa att $(\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \mathbf{e}'_3)$ bildar en positivt orienterad ON-bas för rummet, bestäm matrisen för $F$ i denna bas, samt tolka avbildningen geometriskt.
Basbytesmatrisen
$$Q=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&\sqrt5\\1&-2&0\end{pmatrix}$$
är ortogonal, ty
$$
Q^TQ=\frac15\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&-2\\0&\sqrt5&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&\sqrt5\\1&-2&0\end{pmatrix}
=E.
$$
Vidare är $\det(Q)=1>0$, så basen är positivt orienterad. Avbildningsmatrisen i den nya basen är
$$A'=Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Avbildningen är därmed projektion på ett plan med normalvektor $\vec e'_1$, dvs. projektion på planet $2x+z=0$.