Hela algebra · 2019-05-08
Polynomet $p(z) = z^{5} - 2z^{4} + 2z^{3} + z^{2} - 2z + 2$ har ett nollställe $z = 1 + i$.
Bestäm alla komplexa nollställen till $p(z)$.
Faktorisera $p(z)$ i irreducibla reella faktorer (dvs reella faktorer av så låga gradtal som möjligt).
(a) Eftersom $p(z)$ har reella koefficienter, kommer även konjugatet $z=1-i$ att vara ett nollställe, så
$$(z-(1+i))(z-(1-i))=z^2-2z+2$$
är en faktor i $p(z)$. Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-2z+2)(z^3+1).$$
Vi vill därför lösa $z^3+1=0$. Uppenbarligen är $z=-1$ en lösning, vilket ger
$$z^3+1=(z+1)(z^2-z+1).$$
Löser man $z^2-z+1=0$, t.ex. genom kvadratkomplettering, fås de två sista lösningarna. Svar:
$$z_1=-1,\qquad z_{2,3}=\frac{1\pm i\sqrt3}{2},\qquad z_{4,5}=1\pm i.$$
(b) Från (a) har vi
$$p(z)=(z+1)(z^2-z+1)(z^2-2z+2),$$
där de två andragradsfaktorerna är irreducibla över $\mathbb R$ eftersom de har komplexa rötter.