Uppgift 3

Låt $A$ vara ekvationssystemets koefficientmatris. Vi får
$$ \det(A)= \begin{vmatrix}1&a&1\\1&4&3\\1&3&a\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1&a&1\\0&4-a&2\\0&3-a&a-1\end{vmatrix} =(4-a)(a-1)-2(3-a)=-(a-2)(a-5). $$
Så $\det(A)=0$ för $a=2$ eller $a=5$. För dessa $a$ kan ekvationssystemet ha ingen eller oändligt många lösningar. Vi undersöker nu dessa fall närmre. För $a=2$ fås den utökade koefficientmatrisen
$$ \begin{pmatrix}1&2&1&|&1\\1&4&3&|&3\\1&3&2&|&2\end{pmatrix}, $$
vilket ger ett lösbart ekvationssystem (t.ex. $(x,y,z)=(0,0,1)$). För $a=5$ fås
$$ \begin{pmatrix}1&5&1&|&1\\1&4&3&|&3\\1&3&5&|&2\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&5&1&|&1\\0&-1&2&|&2\\0&-2&4&|&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&5&1&|&1\\0&-1&2&|&2\\0&0&0&|&-3\end{pmatrix}, $$
så lösning saknas. Svar: Ingen lösning för $a=5$, oändligt många lösningar för $a=2$, och unik lösning för alla andra $a$.