Hela algebra · 2019-08-22
Låt $T$ vara den linjära avbildningen som fås av att först projicera på planet $x + y - z = 0$, och sedan spegla i $x$-axeln.
Bestäm matrisen för $T$ i standardbasen.
Avgör om avbildningen $T$ blir en projektion på ett plan. Ledning: Om $T$ är en projektion, vad är då $T \circ T$?
(a) Planets normalvektor är $\vec n=(1,1,-1)$. Geometriskt ser vi att projektionen $P(\vec v)$ av en vektor $\vec v=(x,y,z)$ ges av
$$P(\vec v)=\vec v-\operatorname{Proj}_{\vec n}(\vec v)
=\vec v-\frac{x+y-z}{3}\vec n.$$
Detta ger
$$P(\vec v)=\frac13(2x-y+z,-x+2y+z,x+y+2z),$$
från vilket vi får att $P$ har matrisen
$$A=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}.$$
Speglingen $S$ har matrisen
$$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
Vi får att $T=S\circ P$ har matrisen
$$C=BA=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-2&-1\\-1&-1&-2\end{pmatrix}.$$
(b) Om en linjär avbildning $T$ är en projektion kommer $T\circ T=T$, men matrisen $C$ för vår avbildning $T$ uppfyller inte $C^2=C$, så $T$ kan inte vara en projektion.