Uppgift 1

(a) Vi börjar med att notera att $10\equiv3\pmod7$, vilket ger $10^{1000}\equiv3^{1000}\pmod7$. Det följer att $3^{1000}=9^{500}\equiv2^{500}\pmod7$, och eftersom $2^{500}=(2^3)^{166}\cdot2^2=8^{166}\cdot4\equiv1\cdot4\pmod7$ så följer att resten vid division med $7$ blir $4$.

(b) Eftersom det bara handlar om $13$ möjliga tal kan vi prova oss fram:
$$3^0\equiv1,\quad3^1\equiv3,\quad3^2\equiv9,\quad3^3=27\equiv1,\quad3^4=81\equiv3,\ldots$$
Vi ser att mönstret upprepar sig och att resterna när $x$ går från $0$ till $12$ ger lösningarna $x=2,5,8,11$.