Tenta 2020-01-15

(a) Vi börjar med att notera att $10\equiv3\pmod7$, vilket ger $10^{1000}\equiv3^{1000}\pmod7$. Det följer att $3^{1000}=9^{500}\equiv2^{500}\pmod7$, och eftersom $2^{500}=(2^3)^{166}\cdot2^2=8^{166}\cdot4\equiv1\cdot4\pmod7$ så följer att resten vid division med $7$ blir $4$.

(b) Eftersom det bara handlar om $13$ möjliga tal kan vi prova oss fram:
$$3^0\equiv1,\quad3^1\equiv3,\quad3^2\equiv9,\quad3^3=27\equiv1,\quad3^4=81\equiv3,\ldots$$
Vi ser att mönstret upprepar sig och att resterna när $x$ går från $0$ till $12$ ger lösningarna $x=2,5,8,11$.

(a) Riktningsvektorerna för $L_1,L_2,L_3$ är
$$\vec v_1=(a,1,1),\qquad\vec v_2=(1,a,1),\qquad\vec v_3=(1,1,a).$$
Villkoret är ekvivalent med att dessa tre vektorer ska vara parallella, vilket bara inträffar om $a=1$.

(b) Eftersom alla tre linjerna går genom origo ligger de i samma plan om och endast om $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ ligger i samma plan, vilket i sin tur inträffar om och endast om determinanten med dessa vektorer som kolonner är lika med noll. En direkt uträkning ger
$$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} &=(a+2)\det\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\ &=(a+2)(a-1)^2. \end{aligned} $$
Vi ser att vi, förutom lösningen $a=1$, även får lösningen $a=-2$.

Vi ser från figuren att
$$\vec f_1=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec e_1+\vec e_2,$$
$$\vec f_2=\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\vec e_1+\vec e_3,$$
$$\vec f_3=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec e_2+\vec e_3.$$
Dessa samband kan skrivas
$$\vec f_1=\vec e_1+\vec e_2,\qquad\vec f_2=\vec e_1+\vec e_3,\qquad\vec f_3=\vec e_2+\vec e_3.$$
Vi kan nu antingen lösa ut $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ direkt eller räkna med matriser. Vi väljer att skriva sambanden på utvidgad matrisform. Detta ger
$$ \vec e_1=\frac12\vec f_1+\frac12\vec f_2-\frac12\vec f_3,\quad \vec e_2=\frac12\vec f_1-\frac12\vec f_2+\frac12\vec f_3,\quad \vec e_3=-\frac12\vec f_1+\frac12\vec f_2+\frac12\vec f_3. $$
Vi kan nu beräkna $\vec u$:
$$ \begin{aligned} \vec u&=2\vec e_1+3\vec e_2-\vec e_3\\ &=2(\tfrac12\vec f_1+\tfrac12\vec f_2-\tfrac12\vec f_3) +3(\tfrac12\vec f_1-\tfrac12\vec f_2+\tfrac12\vec f_3) -(-\tfrac12\vec f_1+\tfrac12\vec f_2+\tfrac12\vec f_3)\\ &=3\vec f_1-\vec f_2. \end{aligned} $$
$\vec u$'s koordinater i basen $\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3$ är alltså $(3,-1,0)$.

(a) Bokstäverna $A,B,C,D,E$ kan permuteras på $5!=120$ olika sätt.

(b) Antalet ord som inte innehåller bokstavsföljden $ABC$ fås genom att från de $120$ orden i (a) subtrahera antalet ord som gör det. Ord som innehåller följden $ABC$ kan uppfattas som permutationer av de tre symbolerna $ABC,D$ och $E$. Sådana finns det $3!=6$ stycken, dvs. svaret blir $120-6=114$.

(c) I detta fall ska vi från $120$ subtrahera både antalet ord som innehåller $ABC$ ($6$ stycken) och antalet ord som innehåller $CDE$ (också $6$ stycken av samma skäl). Men om vi subtraherar $2\cdot6=12$ har vi subtraherat antalet ord som innehåller både $ABC$ och $CDE$ två gånger, så det antalet måste till slut adderas igen. I vårt fall finns det bara ett sådant ord, nämligen $ABCDE$, så rätt svar blir
$$120-6-6+1=109.$$

Vi börjar med att faktorisera med hjälp av konjugatregeln:
$$p(x)=x^8-16=(x^4-4)(x^4+4)=(x^2-2)(x^2+2)(x^4+4)$$
$$=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2+2)(x^4+4).$$
Av de fyra faktorerna är de tre första uppenbarligen irreducibla över de reella talen. För att faktorisera den fjärde löser vi den binomiska ekvationen $x^4=-4$, som har lösningarna
$$x_k=2^{1/2}e^{i(\pi/4+k\pi/2)},\qquad k=0,1,2,3,$$
vilket efter förenkling ger de komplexa rötterna $1\pm i$ och $-1\pm i$. Faktorsatsen ger nu
$$x^4+4=(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)$$
$$=((x-1)^2+1)((x+1)^2+1)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$
Insatt i faktoriseringen ovan får vi slutligen
$$p(x)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$

(a) Det är känt från kursen att projektioner och speglingar har symmetriska matriser, medan rotationer normalt inte har det. Redan denna information räcker för att visa att det måste vara $A_1$ som är rotationen. Vidare vet vi att en projektion på ett plan eller en linje alltid har determinant lika med noll, medan en spegling i ett plan eller en punkt har determinant $-1$ och en spegling i en linje har determinant $+1$. Direkt beräkning visar att
$$\det(A_2)=\frac1{729}(200-16-16-20-20-128)=0$$
och
$$\det(A_3)=\frac1{729}(-448-16-16+7-128-128)=-1,$$
vilket alltså betyder att det är $A_2$ som är projektionen och $A_3$ som är speglingen.

(b) Rotationen runt $z$-axeln uppfyller $R(\vec e_x)=\vec e_y$, $R(\vec e_y)=-\vec e_x$, $R(\vec e_z)=\vec e_z$, vilket ger matrisen
$$R=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Speglingen i planet $x+z=0$ uppfyller $S(\vec e_x)=-\vec e_z$, $S(\vec e_y)=\vec e_y$, $S(\vec e_z)=-\vec e_x$, vilket ger matrisen
$$S=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}.$$
Den sammantagna effekten av dessa operationer ges av
$$A=SR=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.$$