Hela algebra · 2020-01-15

Uppgift 6

Uppgift 6

(a)

Följande matriser representerar en spegling, en projektion och en rotation med avseende på en ON-bas. Avgör vilken som är vilken! Svar utan motivering ger ingen poäng. Däremot behöver inga speciella egenskaper som t ex rotationsaxel eller speglingsplan anges.

$$A_1=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-8&1\\ 4&1&-8\\ 7&4&4\end{pmatrix},\qquad A_2=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}5&-4&2\\ -4&5&2\\ 2&2&8\end{pmatrix},\qquad A_3=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}8&-4&-1\\ -4&-7&-4\\ -1&-4&8\end{pmatrix}.$$

(b)

Bestäm matrisen för den avbildning i rummet $\mathbb{R}^3$ som består i att vi först vrider ett kvarts varv runt $z$-axeln (i den riktning för vilken restriktionen till $xy$-planet blir en vridning i positiv led) och sedan speglar i planet $x+z=0$. (ON-bas)

Visa lösningDölj lösning

(a) Det är känt från kursen att projektioner och speglingar har symmetriska matriser, medan rotationer normalt inte har det. Redan denna information räcker för att visa att det måste vara $A_1$ som är rotationen. Vidare vet vi att en projektion på ett plan eller en linje alltid har determinant lika med noll, medan en spegling i ett plan eller en punkt har determinant $-1$ och en spegling i en linje har determinant $+1$. Direkt beräkning visar att
$$\det(A_2)=\frac1{729}(200-16-16-20-20-128)=0$$
och
$$\det(A_3)=\frac1{729}(-448-16-16+7-128-128)=-1,$$
vilket alltså betyder att det är $A_2$ som är projektionen och $A_3$ som är speglingen.

(b) Rotationen runt $z$-axeln uppfyller $R(\vec e_x)=\vec e_y$, $R(\vec e_y)=-\vec e_x$, $R(\vec e_z)=\vec e_z$, vilket ger matrisen
$$R=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Speglingen i planet $x+z=0$ uppfyller $S(\vec e_x)=-\vec e_z$, $S(\vec e_y)=\vec e_y$, $S(\vec e_z)=-\vec e_x$, vilket ger matrisen
$$S=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}.$$
Den sammantagna effekten av dessa operationer ges av
$$A=SR=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.$$