Hela algebra · 2020-01-15

Uppgift 3

I parallellepipeden med hörn i $A,B,C,D,E,F,G,H$ (se figur) utgör $\mathbf{e}_1=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{e}_2=\overrightarrow{AD}$, $\mathbf{e}_3=\overrightarrow{AE}$ en bas och $\mathbf{f}_1=\overrightarrow{AC}$, $\mathbf{f}_2=\overrightarrow{AF}$, $\mathbf{f}_3=\overrightarrow{AH}$ en annan. Om vektorn $\mathbf{u}$ har koordinater $(2,3,-1)$ med avseende på basen $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$, vilka koordinater har $\mathbf{u}$ med avseende på basen $\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3$?

Wireframe parallelepiped with vertices A through H labeled.

Visa lösningDölj lösning

Vi ser från figuren att
$$\vec f_1=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec e_1+\vec e_2,$$
$$\vec f_2=\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\vec e_1+\vec e_3,$$
$$\vec f_3=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec e_2+\vec e_3.$$
Dessa samband kan skrivas
$$\vec f_1=\vec e_1+\vec e_2,\qquad\vec f_2=\vec e_1+\vec e_3,\qquad\vec f_3=\vec e_2+\vec e_3.$$
Vi kan nu antingen lösa ut $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ direkt eller räkna med matriser. Vi väljer att skriva sambanden på utvidgad matrisform. Detta ger
$$ \vec e_1=\frac12\vec f_1+\frac12\vec f_2-\frac12\vec f_3,\quad \vec e_2=\frac12\vec f_1-\frac12\vec f_2+\frac12\vec f_3,\quad \vec e_3=-\frac12\vec f_1+\frac12\vec f_2+\frac12\vec f_3. $$
Vi kan nu beräkna $\vec u$:
$$ \begin{aligned} \vec u&=2\vec e_1+3\vec e_2-\vec e_3\\ &=2(\tfrac12\vec f_1+\tfrac12\vec f_2-\tfrac12\vec f_3) +3(\tfrac12\vec f_1-\tfrac12\vec f_2+\tfrac12\vec f_3) -(-\tfrac12\vec f_1+\tfrac12\vec f_2+\tfrac12\vec f_3)\\ &=3\vec f_1-\vec f_2. \end{aligned} $$
$\vec u$'s koordinater i basen $\vec f_1,\vec f_2,\vec f_3$ är alltså $(3,-1,0)$.