Hela algebra · 2020-01-15
Vi definierar tre linjer $L_1,L_2,L_3$ som beror av parametern $a$ på följande sätt:
$$L_1:\begin{cases}x=at\\ y=t\\ z=t\end{cases},\qquad L_2:\begin{cases}x=t\\ y=at\\ z=t\end{cases},\qquad L_3:\begin{cases}x=t\\ y=t\\ z=at\end{cases}.$$
För vilka värden på $a$ är $L_1,L_2,L_3$ parallella?
För vilka värden på $a$ ligger $L_1,L_2,L_3$ i samma plan?
(a) Riktningsvektorerna för $L_1,L_2,L_3$ är
$$\vec v_1=(a,1,1),\qquad\vec v_2=(1,a,1),\qquad\vec v_3=(1,1,a).$$
Villkoret är ekvivalent med att dessa tre vektorer ska vara parallella, vilket bara inträffar om $a=1$.
(b) Eftersom alla tre linjerna går genom origo ligger de i samma plan om och endast om $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ ligger i samma plan, vilket i sin tur inträffar om och endast om determinanten med dessa vektorer som kolonner är lika med noll. En direkt uträkning ger
$$
\begin{aligned}
\det\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}
&=(a+2)\det\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&1\end{pmatrix}\\
&=(a+2)(a-1)^2.
\end{aligned}
$$
Vi ser att vi, förutom lösningen $a=1$, även får lösningen $a=-2$.