Uppgift 5

Vi börjar med att faktorisera med hjälp av konjugatregeln:
$$p(x)=x^8-16=(x^4-4)(x^4+4)=(x^2-2)(x^2+2)(x^4+4)$$
$$=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2+2)(x^4+4).$$
Av de fyra faktorerna är de tre första uppenbarligen irreducibla över de reella talen. För att faktorisera den fjärde löser vi den binomiska ekvationen $x^4=-4$, som har lösningarna
$$x_k=2^{1/2}e^{i(\pi/4+k\pi/2)},\qquad k=0,1,2,3,$$
vilket efter förenkling ger de komplexa rötterna $1\pm i$ och $-1\pm i$. Faktorsatsen ger nu
$$x^4+4=(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)$$
$$=((x-1)^2+1)((x+1)^2+1)=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$
Insatt i faktoriseringen ovan får vi slutligen
$$p(x)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$