Hela algebra · 2020-01-15
Betrakta de fem bokstäverna $A,B,C,D,E$.
Hur många ”ord” kan bildas genom att permutera dessa bokstäver?
Hur många av dessa ord innehåller inte bokstavsföljden ABC?
Hur många av dessa ord innehåller varken bokstavsföljden ABC eller CDE?
(a) Bokstäverna $A,B,C,D,E$ kan permuteras på $5!=120$ olika sätt.
(b) Antalet ord som inte innehåller bokstavsföljden $ABC$ fås genom att från de $120$ orden i (a) subtrahera antalet ord som gör det. Ord som innehåller följden $ABC$ kan uppfattas som permutationer av de tre symbolerna $ABC,D$ och $E$. Sådana finns det $3!=6$ stycken, dvs. svaret blir $120-6=114$.
(c) I detta fall ska vi från $120$ subtrahera både antalet ord som innehåller $ABC$ ($6$ stycken) och antalet ord som innehåller $CDE$ (också $6$ stycken av samma skäl). Men om vi subtraherar $2\cdot6=12$ har vi subtraherat antalet ord som innehåller både $ABC$ och $CDE$ två gånger, så det antalet måste till slut adderas igen. I vårt fall finns det bara ett sådant ord, nämligen $ABCDE$, så rätt svar blir
$$120-6-6+1=109.$$