Hela algebra · 2021-12-06
Vi har två linjer, den ena ges av
$$(x,y,z)=(2,2,3)+t(1,0,1),\qquad t\in\mathbb{R},$$
och den andra är skärningslinjen mellan planen $x-y+z=1$ och $x-z=3$. Avgör om linjerna är sammanfallande, parallella, skeva eller skärande, samt bestäm två punkter, en på respektive linje, som ligger så nära varandra som möjligt.
Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L_2$ ges av
$$(x,y,z)=(3,2,0)+s(1,2,1),\qquad s\in\mathbb R.$$
Alltså är $\vec v_1=(1,0,1)$ en riktningsvektor för $L_1$ och $\vec v_2=(1,2,1)$ en riktningsvektor för $L_2$. Dessa är inte parallella, så linjerna är skärande eller skeva.
Vi söker nu punkter $P=(2+t,2,3+t)\in L_1$ och $Q=(3+s,2+2s,s)\in L_2$ som minimerar avståndet. Detta inträffar då $\overrightarrow{PQ}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektorer. Eftersom
$$\overrightarrow{PQ}=(1+s-t,2s,s-3-t),$$
får vi
$$
\begin{cases}
0=\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_1=-2+2s-2t,\\
0=\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_2=-2+6s-2t,
\end{cases}
$$
som ger att $s=0$ och $t=-1$. Därmed är de två närmaste punkterna $P=(1,2,2)$ respektive $Q=(3,2,0)$. Eftersom linjerna därmed inte skär varandra är de alltså skeva.