Hela algebra · 2021-12-06

Uppgift 6

Uppgift 6

Avbildningen $F$ har matrisen $A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&\sqrt{2}&-1\\ -\sqrt{2}&0&-\sqrt{2}\\ -1&\sqrt{2}&1\end{pmatrix}$ i standardbasen i rummet. Betrakta vektorerna

$$\begin{cases}\mathbf{e}'_1=(0,1,0)\\ \mathbf{e}'_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)\\ \mathbf{e}'_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1).\end{cases}$$

Visa att $(\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\mathbf{e}'_3)$ bildar en ON-bas för rummet. Avgör om basen är positivt orienterad eller inte. Bestäm matrisen för $F$ i denna bas, samt tolka avbildningen geometriskt.

Visa lösningDölj lösning

Basbytesmatrisen
$$Q=\begin{pmatrix}0&1/\sqrt2&1/\sqrt2\\1&0&0\\0&1/\sqrt2&-1/\sqrt2\end{pmatrix}.$$
En direkt uträkning ger att $Q^TQ=E$, så $Q$ är ortogonal. Vidare får vi att
$$ \det(Q)=\frac12\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&-1\end{vmatrix} =-\frac12\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=1>0, $$
så basen är positivt orienterad. Avbildningsmatrisen i den nya basen är
$$ A'=Q^{-1}AQ=Q^TAQ= \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\pi/2)&-\sin(\pi/2)&0\\\sin(\pi/2)&\cos(\pi/2)&0\\0&0&1\end{pmatrix}. $$
Avbildningen är därmed rotation $90^\circ$ runt $z'$-axeln, dvs. rotation $90^\circ$ runt linjen genom origo med riktningsvektor $(1,0,-1)$.