Hela algebra · 2022-01-10
Mängderna $X$ och $Y$ uppfyller $\lvert X\cup Y\rvert=21$, $\lvert Y\rvert=16$, $\lvert X\cap Y\rvert=7$. Bestäm $\lvert X\rvert$ och $\lvert X\setminus Y\rvert$.
Hur många olika ”ord” kan bildas med hjälp av 2 stycken A, 3 st. B och 4 st. C om orden inte får innehålla bokstavskombinationen ABBA. (T ex ABBCCCACB är godkänt.) Svaret skall anges uträknat.
(a) $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$, så $21=|X|+16-7$, vilket ger $|X|=12$. Vidare är
$$|X\setminus Y|=|X|-|X\cap Y|=12-7=5.$$
(b) Antalet ord som kan bildas av de $9$ bokstäverna är enligt välkänd princip
$$\frac{9!}{2!3!4!}=1260.$$
De ”förbjudna” orden får vi av de $6$ byggstenarna ABBA, B, C, C, C, C som kan ordnas på
$$\frac{6!}{1!1!4!}=30$$
sätt. Vi får alltså kvar $1260-30=1230$ tillåtna ord.