MM2001 · Hela algebra
Mängderna $X$ och $Y$ uppfyller $\lvert X\cup Y\rvert=21$, $\lvert Y\rvert=16$, $\lvert X\cap Y\rvert=7$. Bestäm $\lvert X\rvert$ och $\lvert X\setminus Y\rvert$.
Hur många olika ”ord” kan bildas med hjälp av 2 stycken A, 3 st. B och 4 st. C om orden inte får innehålla bokstavskombinationen ABBA. (T ex ABBCCCACB är godkänt.) Svaret skall anges uträknat.
(a) $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$, så $21=|X|+16-7$, vilket ger $|X|=12$. Vidare är
$$|X\setminus Y|=|X|-|X\cap Y|=12-7=5.$$
(b) Antalet ord som kan bildas av de $9$ bokstäverna är enligt välkänd princip
$$\frac{9!}{2!3!4!}=1260.$$
De ”förbjudna” orden får vi av de $6$ byggstenarna ABBA, B, C, C, C, C som kan ordnas på
$$\frac{6!}{1!1!4!}=30$$
sätt. Vi får alltså kvar $1260-30=1230$ tillåtna ord.
Visa att 7 är det minsta primtal som delar $2^{50}+3$.
Bestäm asymptoterna till hyperbeln $x^2+2x-9y^2+18y+1=0$, samt skissa grafen.
(a) Det är uppenbart att talet inte delas av $2$ (eftersom det är udda) eller av $3$ (bara ena termen är delbar med $3$). Modulo $5$ får vi
$$2^{50}+3=4^{25}+3\equiv(-1)^{25}+3=2\pmod5,$$
så talet är inte heller delbart med $5$. Modulo $7$ får vi däremot
$$2^{50}+3=2^{3\cdot16+2}+3=8^{16}2^2+3\equiv1^{16}4+3=7\equiv0\pmod7,$$
så talet är delbart med $7$, vilket alltså är den minsta primtalsdelaren.
(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$\frac{(x+1)^2}{3^2}-\frac{(y-1)^2}{1^2}=-1.$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(-1,1\pm1)$, och att asymptoterna ges av
$$y-1=\pm\frac{x+1}{3},$$
dvs. $y=(x+4)/3$ respektive $y=(2-x)/3$. Vi skissar grafen.
Låt $p(z)=z^5+2z^4+4z^3-8z^2-16z-32$.
Bestäm resten när $p(z)$ delas med $z+i$.
Man vet att $p(-1+\sqrt{3}i)=0$. Bestäm alla nollställen $z\in\mathbb{C}$ till $p(z)$, och faktorisera $p(z)$ så långt som möjligt i reella faktorer.
(a) Enligt restsatsen är resten
$$p(-i)=(-i)^5+2(-i)^4+4(-i)^3-8(-i)^2-16(-i)-32=-22+19i.$$
(b) Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter, så även konjugatet $z=-1-\sqrt3\,i$ är en rot, och polynomet delas av
$$(z-(-1+\sqrt3\,i))(z-(-1-\sqrt3\,i))=z^2+2z+4.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2+2z+4)(z^3-8).$$
Vi behöver nu lösa $z^3-8=0$. Man ser direkt att $z=2$ är en rot, och får faktoriseringen
$$z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4).$$
Vi får alltså den sökta faktoriseringen
$$p(z)=(z-2)(z^2+2z+4)^2,$$
och nollställena är enkelroten $z=2$ och de två dubbelrötterna $z=-1\pm\sqrt3\,i$.
Betrakta de 4 punkterna $A=(1,3,2)$, $B=(2,2,1)$, $C=(2,5,2)$ och $D=(1,6,3)$.
Visa att fyrhörningen ABCD är en parallellogram, och beräkna dess area. Bestäm ekvationen (på normalform) för planet den ligger i.
Avgör om linjen $(x,y,z)=(3,4,5)+t(1,-1,3)$, $t\in\mathbb{R}$, passerar genom fyrhörningen eller går på utsidan av den.
(a) Vi får att $\overrightarrow{AB}=(1,-1,-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,2,0)$ och $\overrightarrow{AD}=(0,3,1)$, så
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},$$
vilket visar att $ABCD$ är ett parallellogram. Arean ges av $|\vec n|$, där
$$
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
=\begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\1&-1&-1\\0&3&1\end{vmatrix}
=2\vec e_1-\vec e_2+3\vec e_3=(2,-1,3).
$$
Därmed är arean $\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}$. Vi har att $\vec n$ är planets normal, så dess ekvation är
$$2(x-1)-(y-3)+3(z-2)=0,$$
vilket är ekvivalent med $2x-y+3z=5$.
(b) Vi söker först skärningspunkten $P$ mellan linjen och planet. Med $(x,y,z)=(3+t,4-t,5+3t)$ i planets ekvation får vi
$$2(3+t)-(4-t)+3(5+3t)=5,$$
vilket ger $t=-1$, så vi får skärningspunkten $P=(2,5,2)=C$. Linjen skär alltså fyrhörningen, närmare bestämt i hörnet $C$.
Betrakta en given godtycklig triangel $\triangle ABC$. Låt $D$ vara mittpunkt på sidan $AB$, och låt $E$ vara punkten på sträckan $DC$ uppfyller $2\lVert\overrightarrow{DE}\rVert=\lVert\overrightarrow{EC}\rVert$. Betrakta baserna $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ och $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)=(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$.
Uttryck vektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Om $\mathbf{v}$ är vektorn med koordinaterna $(2,1)$ i basen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$, bestäm koordinaterna för $\mathbf{v}$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$.
Betrakta koordinatsystemet med origo i punkten E och basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Bestäm koordinaterna för punkterna A, B och C i detta koordinatsystem.
(a) Vi får
$$\vec f_1=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}=\frac13\overrightarrow{CD}-\frac12\vec e_1
=\frac13(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})-\frac12\vec e_1
=-\frac13\vec e_1-\frac13\vec e_2,$$
och
$$\vec f_2=\vec f_1+\vec e_1=\frac23\vec e_1-\frac13\vec e_2.$$
Så $(\vec f_1\ \vec f_2)=(\vec e_1\ \vec e_2)M$, där
$$M=\frac13\begin{pmatrix}-1&2\\-1&-1\end{pmatrix}.$$
Därmed är $(\vec e_1\ \vec e_2)=(\vec f_1\ \vec f_2)M^{-1}$. Med standardmetod får vi
$$M^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&-1\end{pmatrix},$$
så $\vec e_1=-\vec f_1+\vec f_2$ och $\vec e_2=-2\vec f_1-\vec f_2$.
Om vektorn $\vec v$ har koordinatmatrisen
$$X=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec e_1,\vec e_2)$ så har $\vec v$ koordinatmatrisen
$$Y=M^{-1}X=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec f_1,\vec f_2).$
(b) Vi har $\overrightarrow{EA}=\vec f_1$, $\overrightarrow{EB}=\vec f_2$ och $\overrightarrow{EC}=\vec f_1+\vec e_2=-\vec f_1-\vec f_2$, så i koordinatsystemet har vi $A=(1,0)$, $B=(0,1)$ och $C=(-1,-1).$
Bestäm matrisen för linjära avbildning $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ som ges av spegling i linjen
$$(x,y,z)=t(1,-2,2),\qquad t\in\mathbb{R}.$$
Låt $S$ vara spegling i $xz$-planet. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen $S\circ T^{-1}$.
(a) Från linjens ekvation får vi att den har en riktningsvektor $\vec v=(1,-2,2)$. Speglingen av en vektor $\vec u=(x,y,z)$ i linjen ges av
$$
S(\vec u)=2\operatorname{Proj}_{\vec v}(\vec u)-\vec u
=2\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\vec v-\vec u
=2\frac{x-2y+2z}{9}(1,-2,2)-(x,y,z)
$$
$$=\frac19(-7x-4y+4z,\;-4x-y-8z,\;4x-8y-z),$$
så matrisen är
$$A=\frac19\begin{pmatrix}-7&-4&4\\-4&-1&-8\\4&-8&-1\end{pmatrix}.$$
(b) Speglingen $T$ är sin egen invers, så $T^{-1}$ har också matrisen $A$. Speglingen $S$ uppfyller
$$S(\vec e_1)=\vec e_1,\qquad S(\vec e_2)=-\vec e_2,\qquad S(\vec e_3)=\vec e_3,$$
så $S$ har matrisen
$$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
varför $S\circ T^{-1}$ har matrisen
$$BA=\frac19\begin{pmatrix}-7&-4&4\\4&1&8\\4&-8&-1\end{pmatrix}.$$