Hela algebra · 2022-01-10

Uppgift 5

Uppgift 5

Betrakta en given godtycklig triangel $\triangle ABC$. Låt $D$ vara mittpunkt på sidan $AB$, och låt $E$ vara punkten på sträckan $DC$ uppfyller $2\lVert\overrightarrow{DE}\rVert=\lVert\overrightarrow{EC}\rVert$. Betrakta baserna $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ och $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)=(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$.

(a)

Uttryck vektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Om $\mathbf{v}$ är vektorn med koordinaterna $(2,1)$ i basen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$, bestäm koordinaterna för $\mathbf{v}$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$.

(b)

Betrakta koordinatsystemet med origo i punkten E och basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$. Bestäm koordinaterna för punkterna A, B och C i detta koordinatsystem.

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi får
$$\vec f_1=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA}=\frac13\overrightarrow{CD}-\frac12\vec e_1 =\frac13(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})-\frac12\vec e_1 =-\frac13\vec e_1-\frac13\vec e_2,$$
och
$$\vec f_2=\vec f_1+\vec e_1=\frac23\vec e_1-\frac13\vec e_2.$$
Så $(\vec f_1\ \vec f_2)=(\vec e_1\ \vec e_2)M$, där
$$M=\frac13\begin{pmatrix}-1&2\\-1&-1\end{pmatrix}.$$
Därmed är $(\vec e_1\ \vec e_2)=(\vec f_1\ \vec f_2)M^{-1}$. Med standardmetod får vi
$$M^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&-1\end{pmatrix},$$
så $\vec e_1=-\vec f_1+\vec f_2$ och $\vec e_2=-2\vec f_1-\vec f_2$.
Om vektorn $\vec v$ har koordinatmatrisen
$$X=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec e_1,\vec e_2)$ så har $\vec v$ koordinatmatrisen
$$Y=M^{-1}X=\begin{pmatrix}-4\\1\end{pmatrix}$$
i basen $(\vec f_1,\vec f_2).$

(b) Vi har $\overrightarrow{EA}=\vec f_1$, $\overrightarrow{EB}=\vec f_2$ och $\overrightarrow{EC}=\vec f_1+\vec e_2=-\vec f_1-\vec f_2$, så i koordinatsystemet har vi $A=(1,0)$, $B=(0,1)$ och $C=(-1,-1).$