Hela algebra · 2022-01-10
Bestäm matrisen för linjära avbildning $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ som ges av spegling i linjen
$$(x,y,z)=t(1,-2,2),\qquad t\in\mathbb{R}.$$
Låt $S$ vara spegling i $xz$-planet. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen $S\circ T^{-1}$.
(a) Från linjens ekvation får vi att den har en riktningsvektor $\vec v=(1,-2,2)$. Speglingen av en vektor $\vec u=(x,y,z)$ i linjen ges av
$$
S(\vec u)=2\operatorname{Proj}_{\vec v}(\vec u)-\vec u
=2\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\vec v-\vec u
=2\frac{x-2y+2z}{9}(1,-2,2)-(x,y,z)
$$
$$=\frac19(-7x-4y+4z,\;-4x-y-8z,\;4x-8y-z),$$
så matrisen är
$$A=\frac19\begin{pmatrix}-7&-4&4\\-4&-1&-8\\4&-8&-1\end{pmatrix}.$$
(b) Speglingen $T$ är sin egen invers, så $T^{-1}$ har också matrisen $A$. Speglingen $S$ uppfyller
$$S(\vec e_1)=\vec e_1,\qquad S(\vec e_2)=-\vec e_2,\qquad S(\vec e_3)=\vec e_3,$$
så $S$ har matrisen
$$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
varför $S\circ T^{-1}$ har matrisen
$$BA=\frac19\begin{pmatrix}-7&-4&4\\4&1&8\\4&-8&-1\end{pmatrix}.$$