Hela algebra · 2022-01-10
Betrakta de 4 punkterna $A=(1,3,2)$, $B=(2,2,1)$, $C=(2,5,2)$ och $D=(1,6,3)$.
Visa att fyrhörningen ABCD är en parallellogram, och beräkna dess area. Bestäm ekvationen (på normalform) för planet den ligger i.
Avgör om linjen $(x,y,z)=(3,4,5)+t(1,-1,3)$, $t\in\mathbb{R}$, passerar genom fyrhörningen eller går på utsidan av den.
(a) Vi får att $\overrightarrow{AB}=(1,-1,-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,2,0)$ och $\overrightarrow{AD}=(0,3,1)$, så
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},$$
vilket visar att $ABCD$ är ett parallellogram. Arean ges av $|\vec n|$, där
$$
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
=\begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\1&-1&-1\\0&3&1\end{vmatrix}
=2\vec e_1-\vec e_2+3\vec e_3=(2,-1,3).
$$
Därmed är arean $\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}$. Vi har att $\vec n$ är planets normal, så dess ekvation är
$$2(x-1)-(y-3)+3(z-2)=0,$$
vilket är ekvivalent med $2x-y+3z=5$.
(b) Vi söker först skärningspunkten $P$ mellan linjen och planet. Med $(x,y,z)=(3+t,4-t,5+3t)$ i planets ekvation får vi
$$2(3+t)-(4-t)+3(5+3t)=5,$$
vilket ger $t=-1$, så vi får skärningspunkten $P=(2,5,2)=C$. Linjen skär alltså fyrhörningen, närmare bestämt i hörnet $C$.