Uppgift 3
Låt $p(z)=z^5+2z^4+4z^3-8z^2-16z-32$.
(a)
Bestäm resten när $p(z)$ delas med $z+i$.
(b)
Man vet att $p(-1+\sqrt{3}i)=0$. Bestäm alla nollställen $z\in\mathbb{C}$ till $p(z)$, och faktorisera $p(z)$ så långt som möjligt i reella faktorer.
Hela algebra · 2022-01-10
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Enligt restsatsen är resten
$$p(-i)=(-i)^5+2(-i)^4+4(-i)^3-8(-i)^2-16(-i)-32=-22+19i.$$
(b) Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter, så även konjugatet $z=-1-\sqrt3\,i$ är en rot, och polynomet delas av
$$(z-(-1+\sqrt3\,i))(z-(-1-\sqrt3\,i))=z^2+2z+4.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2+2z+4)(z^3-8).$$
Vi behöver nu lösa $z^3-8=0$. Man ser direkt att $z=2$ är en rot, och får faktoriseringen
$$z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4).$$
Vi får alltså den sökta faktoriseringen
$$p(z)=(z-2)(z^2+2z+4)^2,$$
och nollställena är enkelroten $z=2$ och de två dubbelrötterna $z=-1\pm\sqrt3\,i$.