Uppgift 3
Vi har tre punkter $P=(0,1,0)$, $Q=(2,2,1)$ och $R=(3,0,1)$.
(a)
Bestäm ekvationen på normalform för planet som innehåller punkterna.
(b)
Beräkna arean av triangeln med hörn i de tre punkterna, och avgör om triangeln är rätvinklig.
Hela algebra · 2022-03-02
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
(a) Vi får att $\overrightarrow{PQ}=(2,1,1)$ och $\overrightarrow{PR}=(3,-1,1)$. En normalvektor ges av
$$
\mathbf n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}
=\begin{vmatrix}
2&3&\mathbf e_1\\
1&-1&\mathbf e_2\\
1&1&\mathbf e_3
\end{vmatrix}
=2\mathbf e_1+\mathbf e_2-5\mathbf e_3=(2,1,-5).
$$
Planets ekvation är därmed $2(x-0)+(y-1)-5(z-0)=0$, dvs. $2x+y-5z=1$.
(b) Triangelns area ges av
$$
\frac12\lvert\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\rvert
=\frac12\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}=\frac{\sqrt{30}}2.
$$
Vi får att $\overrightarrow{QP}=(-2,-1,-1)$ och $\overrightarrow{QR}=(1,-2,0)$, så $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=0$, vilket visar att vinkeln vid $Q$ är rät.