Hela algebra · 2022-05-05
Vilken eller vilka av följande utsagor är ekvivalenta med $\neg P\Rightarrow Q$? $A:P\Rightarrow\neg Q$, $B:P\lor Q$, $C:\neg Q\Rightarrow P$, $D:P\land\neg Q$. Motivera svaret genom att ange utsagornas sanningstabeller.
Vi har 100 heltal varav 30 är jämna, 40 är delbara med 3, 40 är delbara med 5, 10 är delbara med 6, 20 delbara med 10, och 12 delbara med 15. Slutligen är 25 av talen relativt prima med 30. Hur många av talen är delbara med 30?
(a) Sanningstabellerna blir
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
P&Q&\neg P\Rightarrow Q&P\Rightarrow\neg Q&P\lor Q&\neg Q\Rightarrow P&P\land\neg Q\\\hline
S&S&S&F&S&S&F\\
S&F&S&S&S&S&S\\
F&S&S&S&S&S&F\\
F&F&F&S&F&F&F
\end{array}
$$
så vi ser att det är utsagorna B och C som är ekvivalenta med $\neg P\Rightarrow Q$.
(b) Vi låter $X$ beteckna mängden av de $100$ talen, och låter
$$A_d=\{n\in X:d\mid n\}$$
vara mängden av tal i $X$ som är delbara med heltalet $d$, så vi söker $\lvert A_{30}\rvert$. Vi får
$$
\lvert A_2\cup A_3\cup A_5\rvert
=\lvert X\rvert-\lvert X\setminus(A_2\cup A_3\cup A_5)\rvert
=100-25=75.
$$
Så med inklusions-exklusion får vi
$$
\begin{aligned}
75&=\lvert A_2\cup A_3\cup A_5\rvert\\
&=\lvert A_2\rvert+\lvert A_3\rvert+\lvert A_5\rvert
-\lvert A_6\rvert-\lvert A_{10}\rvert-\lvert A_{15}\rvert
+\lvert A_{30}\rvert\\
&=30+40+40-10-20-12+\lvert A_{30}\rvert
=68+\lvert A_{30}\rvert,
\end{aligned}
$$
vilket ger att $\lvert A_{30}\rvert=7$.