Tenta 2022-05-05

(a) Lösningar $x$ till kongruensen $5x\equiv3\pmod{163}$ motsvarar lösningar till den diofantiska ekvationen $5x+163y=3$. Vi börjar därför med Euklides algoritm:
$$ 163=32\cdot5+3,\qquad 5=1\cdot3+2,\qquad 3=1\cdot2+1. $$
Så $\operatorname{SGD}(163,5)=1$ och vi kan lösa hjälpekvationen $5x+163y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$ 1=3-1\cdot2=3-1\cdot(5-1\cdot3)=2\cdot3-1\cdot5 =2\cdot(163-32\cdot5)-1\cdot5=2\cdot163-65\cdot5. $$
Vi får att $(x,y)=(-65,2)$ löser hjälpekvationen. Multipliceras denna lösning med $3$ fås en partikulärlösning $(x,y)=(-195,6)$ till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$ \begin{cases} x=-195+163k,\\ y=6-5k \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z. $$
Den sökta lösningen $x$ uppfyller $0<x\le163$, vilket ger $k=2$. Insatt i lösningsformeln ger detta $x=131$.

(b) Eftersom $23$ är ett primtal ger Fermats lilla sats att $2^{22}\equiv1\pmod{23}$, så
$$ 2^{2975}+2^{224}\equiv(-1)^{75}+2^{22\cdot10+4} \equiv-1+(2^{22})^{10}2^4\equiv-1+1^{10}\cdot16=15\pmod{23}, $$
så resten är $15$.

(a) Sanningstabellerna blir
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} P&Q&\neg P\Rightarrow Q&P\Rightarrow\neg Q&P\lor Q&\neg Q\Rightarrow P&P\land\neg Q\\\hline S&S&S&F&S&S&F\\ S&F&S&S&S&S&S\\ F&S&S&S&S&S&F\\ F&F&F&S&F&F&F \end{array} $$
så vi ser att det är utsagorna B och C som är ekvivalenta med $\neg P\Rightarrow Q$.

(b) Vi låter $X$ beteckna mängden av de $100$ talen, och låter
$$A_d=\{n\in X:d\mid n\}$$
vara mängden av tal i $X$ som är delbara med heltalet $d$, så vi söker $\lvert A_{30}\rvert$. Vi får
$$ \lvert A_2\cup A_3\cup A_5\rvert =\lvert X\rvert-\lvert X\setminus(A_2\cup A_3\cup A_5)\rvert =100-25=75. $$
Så med inklusions-exklusion får vi
$$ \begin{aligned} 75&=\lvert A_2\cup A_3\cup A_5\rvert\\ &=\lvert A_2\rvert+\lvert A_3\rvert+\lvert A_5\rvert -\lvert A_6\rvert-\lvert A_{10}\rvert-\lvert A_{15}\rvert +\lvert A_{30}\rvert\\ &=30+40+40-10-20-12+\lvert A_{30}\rvert =68+\lvert A_{30}\rvert, \end{aligned} $$
vilket ger att $\lvert A_{30}\rvert=7$.

(a) Om vi räknar med mellanslaget har vi $10$ tecken, varav vi har $4$ L och $2$ U medan övriga tecken är unika. Antalet sätt att ordna dem är $\frac{10!}{4!2!}$. De förbjudna ordningarna är de som börjar eller slutar med mellanslag. Vardera av dessa fall kan ske på $\frac{9!}{4!2!}$ sätt, så vi får
$$ \frac{10!}{4!2!}-2\frac{9!}{4!2!} =5\frac{9!}{4!}-\frac{9!}{4!} =4\frac{9!}{4!} =\frac{9!}{6} $$
olika meningar.
Alternativt kan man börja med att ordna de $9$ bokstäverna och sedan välja en av de $8$ möjliga positionerna att stoppa in mellanslaget, så vi får
$$ \frac{9!}{4!2!}\cdot8=\frac{9!}{6} $$
meningar.

(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$ \frac{(x-1)^2}{1^2}-\frac{(y+1)^2}{2^2}=1. $$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,-1)$, och att asymptoterna ges av $y+1=\pm2(x-1)$, dvs. $y=2x-3$ respektive $y=-2x+1$. Vi skissar grafen:

Om $z=1+i$ är ett nollställe till $p(z)=z^4-2z^3+5z^2-6z+6$ så är även konjugatet $z=1-i$ ett nollställe eftersom $p(z)$ har reella koefficienter. Då gäller att
$$ (z-(1+i))(z-(1-i))=(z-1)^2-i^2=z^2-2z+2 $$
delar $p(z)$. Polynomdivision ger nu
$$p(z)=(z^2-2z+2)(z^2+3),$$
vilket dels bekräftar att $z=1+i$ är ett nollställe, dels ger de två sista nollställena från $z^2+3=0$. Lösningarna till ekvationen är därmed $z=1\pm i$ samt $z=\pm\sqrt3\,i$.

(a) Låt $P=(2,1,3)$ och $Q=(1,0,2)$. Normalvektorn till planet $2x+y-z=1$ är $\mathbf v=(2,1,-1)$. Vårt plan är parallellt med $\mathbf v$ och $\mathbf u=\overrightarrow{QP}=(1,1,1)$, så det har normalvektor
$$ \mathbf n=\mathbf v\times\mathbf u =\begin{vmatrix} 2&1&\mathbf e_1\\ 1&1&\mathbf e_2\\ -1&1&\mathbf e_3 \end{vmatrix} =2\mathbf e_1-3\mathbf e_2+\mathbf e_3=(2,-3,1). $$
Planets ekvation är därför $2(x-2)-3(y-1)+(z-3)=0$, dvs. $2x-3y+z=4$.

(b) Planet har normal $\mathbf n=(2,-1,-2)$. Linjen $L$ genom $P$ vinkelrät mot planet har parameterformen
$$ (x,y,z)=(2+2t,-t,3-2t),\qquad t\in\mathbb R. $$
Skärningen $S$ med planet fås då
$$2(2+2t)-(-t)-2(3-2t)=4,$$
vilket ger $t=\frac23$. Avståndet är därmed
$$ \lvert\overrightarrow{PS}\rvert=\left\lvert\frac23\mathbf n\right\rvert =\frac23\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=2, $$
och punkten är $S=(\frac{10}{3},-\frac23,\frac53)$.

(a) Första speglingen uppfyller $S_1(\mathbf e_1)=-\mathbf e_2$, $S_1(\mathbf e_2)=-\mathbf e_1$, $S_1(\mathbf e_3)=\mathbf e_3$, så $S_1$ har matrisen
$$S_1=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Rotationen har matris
$$R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi)&-\sin(\pi)\\0&\sin(\pi)&\cos(\pi)\end{pmatrix},$$
och den andra speglingen $S_2$ har matrisen
$$S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
Då har $F$ matrisen
$$ \begin{aligned} F=S_2RS_1 &=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}. \end{aligned} $$

(b) Vi ser att
$$ F=\begin{pmatrix} \cos(\pi/2)&-\sin(\pi/2)&0\\ \sin(\pi/2)&\cos(\pi/2)&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}, $$
så $F$ innebär en vridning $90^\circ$ moturs kring $z$-axeln (sett uppifrån).