Uppgift 4

Om $z=1+i$ är ett nollställe till $p(z)=z^4-2z^3+5z^2-6z+6$ så är även konjugatet $z=1-i$ ett nollställe eftersom $p(z)$ har reella koefficienter. Då gäller att
$$ (z-(1+i))(z-(1-i))=(z-1)^2-i^2=z^2-2z+2 $$
delar $p(z)$. Polynomdivision ger nu
$$p(z)=(z^2-2z+2)(z^2+3),$$
vilket dels bekräftar att $z=1+i$ är ett nollställe, dels ger de två sista nollställena från $z^2+3=0$. Lösningarna till ekvationen är därmed $z=1\pm i$ samt $z=\pm\sqrt3\,i$.