Hela algebra · 2022-05-05
Hur många meningar bestående av precis två ord kan man bilda från meningen ”FULL RULLE” (som vanligt behöver orden i meningen inte betyda något, men ett ord måste bestå av minst en bokstav)? Svaret får innehålla fakulteter.
Bestäm asymptoterna till hyperbeln $4x^2-8x-y^2-2y=1$, samt skissa grafen.
(a) Om vi räknar med mellanslaget har vi $10$ tecken, varav vi har $4$ L och $2$ U medan övriga tecken är unika. Antalet sätt att ordna dem är $\frac{10!}{4!2!}$. De förbjudna ordningarna är de som börjar eller slutar med mellanslag. Vardera av dessa fall kan ske på $\frac{9!}{4!2!}$ sätt, så vi får
$$
\frac{10!}{4!2!}-2\frac{9!}{4!2!}
=5\frac{9!}{4!}-\frac{9!}{4!}
=4\frac{9!}{4!}
=\frac{9!}{6}
$$
olika meningar.
Alternativt kan man börja med att ordna de $9$ bokstäverna och sedan välja en av de $8$ möjliga positionerna att stoppa in mellanslaget, så vi får
$$
\frac{9!}{4!2!}\cdot8=\frac{9!}{6}
$$
meningar.
(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$
\frac{(x-1)^2}{1^2}-\frac{(y+1)^2}{2^2}=1.
$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,-1)$, och att asymptoterna ges av $y+1=\pm2(x-1)$, dvs. $y=2x-3$ respektive $y=-2x+1$. Vi skissar grafen: