Hela algebra · 2022-05-05
Bestäm ekvationen för planet som innehåller punkterna $(2,1,3)$ och $(1,0,2)$ och som är vinkelrät mot planet $2x+y-z=1$.
Bestäm kortaste avståndet från planet $2x-y-2z=4$ till punkten $P=(2,0,3)$. Ange speciellt den punkt i planet som är närmast $P$.
(a) Låt $P=(2,1,3)$ och $Q=(1,0,2)$. Normalvektorn till planet $2x+y-z=1$ är $\mathbf v=(2,1,-1)$. Vårt plan är parallellt med $\mathbf v$ och $\mathbf u=\overrightarrow{QP}=(1,1,1)$, så det har normalvektor
$$
\mathbf n=\mathbf v\times\mathbf u
=\begin{vmatrix}
2&1&\mathbf e_1\\
1&1&\mathbf e_2\\
-1&1&\mathbf e_3
\end{vmatrix}
=2\mathbf e_1-3\mathbf e_2+\mathbf e_3=(2,-3,1).
$$
Planets ekvation är därför $2(x-2)-3(y-1)+(z-3)=0$, dvs. $2x-3y+z=4$.
(b) Planet har normal $\mathbf n=(2,-1,-2)$. Linjen $L$ genom $P$ vinkelrät mot planet har parameterformen
$$
(x,y,z)=(2+2t,-t,3-2t),\qquad t\in\mathbb R.
$$
Skärningen $S$ med planet fås då
$$2(2+2t)-(-t)-2(3-2t)=4,$$
vilket ger $t=\frac23$. Avståndet är därmed
$$
\lvert\overrightarrow{PS}\rvert=\left\lvert\frac23\mathbf n\right\rvert
=\frac23\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}=2,
$$
och punkten är $S=(\frac{10}{3},-\frac23,\frac53)$.