Hela algebra · 2022-05-05
Låt $F$ vara den linjära avbildning som ges av att först spegla i planet $x+y=0$, sedan rotera $180^{\circ}$ kring $x$-axeln, och slutligen spegla i $xy$-planet.
Bestäm matrisen för $F$ i standardbasen.
Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $F$.
(a) Första speglingen uppfyller $S_1(\mathbf e_1)=-\mathbf e_2$, $S_1(\mathbf e_2)=-\mathbf e_1$, $S_1(\mathbf e_3)=\mathbf e_3$, så $S_1$ har matrisen
$$S_1=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Rotationen har matris
$$R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi)&-\sin(\pi)\\0&\sin(\pi)&\cos(\pi)\end{pmatrix},$$
och den andra speglingen $S_2$ har matrisen
$$S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
Då har $F$ matrisen
$$
\begin{aligned}
F=S_2RS_1
&=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
(b) Vi ser att
$$
F=\begin{pmatrix}
\cos(\pi/2)&-\sin(\pi/2)&0\\
\sin(\pi/2)&\cos(\pi/2)&0\\
0&0&1
\end{pmatrix},
$$
så $F$ innebär en vridning $90^\circ$ moturs kring $z$-axeln (sett uppifrån).