Uppgift 4
Låt $a$ vara en reell konstant, och betrakta de tre planen $\Pi_1:ax+y+z=1$, $\Pi_2:x+ay+z=-1$ och $\Pi_3:x+y+az=0$. För vilka $a$ saknar planen någon gemensam punkt och för vilka $a$ finns oändligt många gemensamma punkter?
Hela algebra · 2022-08-10
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Vi måste undersöka antalet lösningar till ekvationssystemet
$$
\begin{cases}
ax+y+z=1,\\
x+ay+z=-1,\\
x+y+az=0.
\end{cases}
$$
Koefficientmatrisens determinant är, efter lite kalkyler,
$$
\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}
=(a-1)^2(a+2).
$$
För $a\in\mathbb R\setminus\{1,-2\}$ är determinanten nollskild, så ekvationssystemet har unik lösning och planen skär alltså varandra i precis en punkt. I fallet $a=1$ kommer första och andra ekvationen att vara motstridiga, så planen har ingen gemensam punkt. I fallet $a=-2$ får man efter Gausseliminering trappstegsformen
$$
\begin{cases}
x-2y+z=-1,\\
y-z=\frac13,
\end{cases}
$$
så det finns oändligt många skärningspunkter.