Uppgift 1

(a) En sats från kursen säger att lösningarna till en diofantisk ekvation $ax+by=c$, där $a,b,c\in\mathbb Z$ och $\operatorname{SGD}(a,b)=1$, ges av
$$ \begin{cases} x=x_0-bk,\\ y=y_0+ak \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z, $$
där $(x_0,y_0)$ är en partikulärlösning till ekvationen. För vår ekvation har vi att $\operatorname{SGD}(8,13)=1$ (eftersom $13$ är ett primtal, t.ex.) och vi kan därmed tillämpa satsen. För att svara på frågan räcker det därmed att hitta en partikulärlösning $(x_0,y_0)$ till ekvationen, dvs. ett par heltal som uppfyller $8x_0+13y_0=4$. För att hitta sådana tal kan vi t.ex. utföra Euklides algoritm på talen $13$ och $8$ och läsa resultatet baklänges för att komma fram till uttrycket $2=2\cdot13-3\cdot8$, vilket ger $4=4\cdot13-6\cdot8$. Alltså är $(x_0,y_0)=(-6,4)$ en partikulärlösning, vilket enligt ovan sats ger den allmänna lösningen
$$ \boxed{x=-6-13k,\qquad y=4+8k,\qquad k\in\mathbb Z.} $$

(b) Om $(x,y)$ är den lösning som motsvarar heltalet $k$ från svaret till del (a), så har vi
$$ |x|+|y|=|-6-13k|+|4+8k|=|6+13k|+|4+8k|. \tag{$\star$} $$
Alltså behöver vi bestämma det $k\in\mathbb Z$ som gör detta uttryck så litet som möjligt, vilket vi gör genom att analysera olika fall. För $k=0$, motsvarande $(x,y)=(-6,4)$, så är $(\star)=10$. För $k\ge1$ är
$$ (\star)=6+13k+4+8k\ge31, $$
och för $k\le-1$ är
$$ (\star)=-6-13k-4-8k=-10-21k\ge11. $$
Det minsta värdet $10$ antas alltså för lösningen $(x,y)=(-6,4)$.

(c) Talet $107$ i vänsterledet är ett primtal: det är varken delbart med $2,3,5$ eller $7$, och det finns inga andra primtal mindre än $\sqrt{107}$. Faktoriseringen i högerledet ger en primtalsfaktorisering av högerledet där alla primtalsfaktorer är strängt mindre än $107$. Enligt aritmetikens fundamentalsats kan de två leden alltså inte vara lika. (Obs: det finns många sätt att resonera på här.)