Uppgift 2
Bestäm samtliga lösningar till ekvationen $(z^6-64)(z^4+5z^2+6)=0$, där $z\in\mathbb{C}$. Alla rötter ska anges på rektangulär form.
Hela algebra · 2023-06-12
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösningⓘ
Den första faktorn ger $z^6=64=2^6$. Dess sex rötter är
$$2,\quad 1\pm i\sqrt3,\quad -1\pm i\sqrt3,\quad -2.$$
Den andra faktorn faktoriseras som
$$z^4+5z^2+6=(z^2+2)(z^2+3),$$
och ger rötterna $z=\pm i\sqrt2$ och $z=\pm i\sqrt3$. Samtliga tio lösningar är alltså
$$2,-2,1\pm i\sqrt3,-1\pm i\sqrt3,\pm i\sqrt2,\pm i\sqrt3.$$