Uppgift 1
(a)
Beräkna $z^3+z^4+z^5+\cdots+z^8$ för $z=2i$. Svara på formen $a+ib$.
(b)
Bestäm resten då polynomet $x^7+x^6+x+4$ delas med $x+1$.
(c)
Visa att $(P\Rightarrow Q)\lor(Q\Rightarrow P)$ är en tautologi (dvs. alltid sann).
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2023-06-12
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) Direkt beräkning med $z=2i$ ger
$$z^3+z^4+\cdots+z^8=208-104i.$$
(b) Enligt restsatsen är resten $p(-1)$. Här blir
$$p(-1)=-1+1-1+4=3.$$
(c) Eftersom $P\Rightarrow Q$ är ekvivalent med $\neg P\lor Q$ kan uttrycket skrivas
$$(\neg P\lor Q)\lor(\neg Q\lor P).$$
Det innehåller både $P\lor\neg P$ och $Q\lor\neg Q$ och är därför sant för alla sanningsvärden.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm samtliga lösningar till ekvationen $(z^6-64)(z^4+5z^2+6)=0$, där $z\in\mathbb{C}$. Alla rötter ska anges på rektangulär form.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Den första faktorn ger $z^6=64=2^6$. Dess sex rötter är
$$2,\quad 1\pm i\sqrt3,\quad -1\pm i\sqrt3,\quad -2.$$
Den andra faktorn faktoriseras som
$$z^4+5z^2+6=(z^2+2)(z^2+3),$$
och ger rötterna $z=\pm i\sqrt2$ och $z=\pm i\sqrt3$. Samtliga tio lösningar är alltså
$$2,-2,1\pm i\sqrt3,-1\pm i\sqrt3,\pm i\sqrt2,\pm i\sqrt3.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
En talföljd definieras av $a_1=5$ och $a_n=2a_{n-1}-3$ för $n\ge2$.
(a)
Beräkna $a_2$ och $a_3$.
(b)
Visa med hjälp av induktion att $a_n=2^n+3$ för alla $n\ge1$.
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) Rekursionen ger $a_2=2\cdot5-3=7$ och $a_3=2\cdot7-3=11$.
(b) För $n=1$ är $2^1+3=5=a_1$. Antag att $a_n=2^n+3$. Då följer
$$a_{n+1}=2a_n-3=2(2^n+3)-3=2^{n+1}+3.$$
Formeln gäller därför för alla $n\ge1$ enligt induktionsprincipen.
#Uppgift 4
Uppgift 4
För varje $a\in\mathbb{R}$, lös följande ekvationssystem:
$$\begin{cases}2x+y+z=1\\ x-2y+2z=1\\ x+8y-4z=a.\end{cases}$$
Visa lösningDölj lösningⓘ
Koefficientmatrisen har rang $2$. En linjär relation mellan vänsterleden är $-2R_1+3R_2+R_3=0$, så högerleden måste uppfylla
$$-2\cdot1+3\cdot1+a=0.$$
Detta ger $a=-1$. För $a\ne-1$ saknar systemet lösning. För $a=-1$ finns oändligt många lösningar, och med $t\in\mathbb R$ kan de skrivas
$$(x,y,z)=\left(\frac35-\frac45t,\,-\frac15+\frac35t,\,t\right).$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
I triangeln med hörnen $A$, $B$ och $C$ sätts $P$ på mittpunkten för sidan $BC$ och $Q$ på mittpunkten för sidan $AC$. Låt därefter $M$ beteckna mittpunkten på $PQ$. Linjerna $AP$ och $BM$ skär i en punkt $S$. Vektorerna $\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}$ och $\mathbf{v}=\overrightarrow{AC}$ utgör en bas för planet.
(a)
Uttryck vektorn $\overrightarrow{BM}$ som en linjärkombination av $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
(b)
Uttryck vektorn $\overrightarrow{AS}$ som en linjärkombination av $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Sätt $A$ i origo, så att $B=\mathbf u$ och $C=\mathbf v$. Då är
$$P=\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2},\qquad Q=\frac{\mathbf v}{2},\qquad M=\frac{\mathbf u}{4}+\frac{\mathbf v}{2}.$$
(a) Därmed är
$$\overrightarrow{BM}=M-B=-\frac34\mathbf u+\frac12\mathbf v.$$
(b) En punkt på $AP$ har formen $t(\mathbf u+\mathbf v)/2$, medan en punkt på $BM$ har formen
$$\mathbf u+s\left(-\frac34\mathbf u+\frac12\mathbf v\right).$$
Jämförelse av koefficienterna ger $s=t=4/5$. Alltså
$$\overrightarrow{AS}=\frac25\mathbf u+\frac25\mathbf v.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ vara den linjära avbildning som projicerar en vektor i $\mathbb{R}^3$ vinkelrätt på vektorn $(2,2,1)$.
(a)
Bestäm avbildningsmatrisen för $T$ i standardbasen.
(b)
Vektorerna $\mathbf{f}_1=\frac{1}{3}(2,2,1)$, $\mathbf{f}_2=\frac{1}{3}(2,-1,-2)$, $\mathbf{f}_3=\frac{1}{3}(-1,2,-2)$ utgör en bas för $\mathbb{R}^3$. Bestäm avbildningsmatrisen $A$ för $T$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$.
(c)
Låt $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ vara två linjärt oberoende vektorer i $\mathbb{R}^2$. Om $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ är en linjär avbildning som uppfyller att $L(\mathbf{u})=\mathbf{u}$ och $L(\mathbf{v})=\mathbf{0}$, måste $L$ vara en vinkelrät projektion på $\mathbf{u}$? Motivera ditt svar!
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) Sätt $\mathbf n=(2,2,1)$. Den ortogonala projektionen på linjen som spänns upp av $\mathbf n$ har matris
$$\frac{\mathbf n\mathbf n^{\mathsf T}}{\mathbf n^{\mathsf T}\mathbf n}=\frac19\begin{pmatrix}4&4&2\\4&4&2\\2&2&1\end{pmatrix}.$$
(b) Basen $(\mathbf f_1,\mathbf f_2,\mathbf f_3)$ är ortonormal, där $\mathbf f_1$ ligger längs projektionslinjen och $\mathbf f_2,\mathbf f_3$ är vinkelräta mot den. Alltså är
$$[T]_{(\mathbf f_1,\mathbf f_2,\mathbf f_3)}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$
(c) Nej. Avbildningen är projektionen på $\operatorname{span}(\mathbf u)$ längs $\operatorname{span}(\mathbf v)$, men den är ortogonal endast om $\mathbf u\perp\mathbf v$.