Uppgift 6
Låt $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ vara den linjära avbildning som projicerar en vektor i $\mathbb{R}^3$ vinkelrätt på vektorn $(2,2,1)$.
(a)
Bestäm avbildningsmatrisen för $T$ i standardbasen.
(b)
Vektorerna $\mathbf{f}_1=\frac{1}{3}(2,2,1)$, $\mathbf{f}_2=\frac{1}{3}(2,-1,-2)$, $\mathbf{f}_3=\frac{1}{3}(-1,2,-2)$ utgör en bas för $\mathbb{R}^3$. Bestäm avbildningsmatrisen $A$ för $T$ i basen $(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$.
(c)
Låt $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ vara två linjärt oberoende vektorer i $\mathbb{R}^2$. Om $L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ är en linjär avbildning som uppfyller att $L(\mathbf{u})=\mathbf{u}$ och $L(\mathbf{v})=\mathbf{0}$, måste $L$ vara en vinkelrät projektion på $\mathbf{u}$? Motivera ditt svar!