Uppgift 3
En talföljd definieras av $a_1=5$ och $a_n=2a_{n-1}-3$ för $n\ge2$.
(a)
Beräkna $a_2$ och $a_3$.
(b)
Visa med hjälp av induktion att $a_n=2^n+3$ för alla $n\ge1$.
Hela algebra · 2023-06-12
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) Rekursionen ger $a_2=2\cdot5-3=7$ och $a_3=2\cdot7-3=11$.
(b) För $n=1$ är $2^1+3=5=a_1$. Antag att $a_n=2^n+3$. Då följer
$$a_{n+1}=2a_n-3=2(2^n+3)-3=2^{n+1}+3.$$
Formeln gäller därför för alla $n\ge1$ enligt induktionsprincipen.