Uppgift 1
(a)
Beräkna koefficienten framför $x^8$ i $(2x^4 + x^{-1})^7$.
(b)
Bestäm resten då $3^{100}$ delas med 5.
(c)
Bestäm resten då $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 3^{100}$ delas med 5.
Hela algebra · 2023-08-10
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Binomialsatsen ger
$$
\begin{aligned}
(2x^4+x^{-1})^7
&=\sum_{k=0}^7\binom7k(2x^4)^k(x^{-1})^{7-k}\\
&=\sum_{k=0}^7\binom7k2^kx^{4k}x^{k-7}
=\sum_{k=0}^7\binom7k2^kx^{5k-7}.
\end{aligned}
$$
Vi måste välja $5k-7=8$, så $5k=15$ och $k=3$. Motsvarande term är
$$
\binom73 2^3=8\cdot\frac{7\cdot6\cdot5}{3!}=8\cdot35=240+40=280.
$$
(b) Vi har att
$$3^{100}\equiv 9^{50}\pmod5\equiv(-1)^{50}\pmod5\equiv1\pmod5.$$
(c) Termerna i summan (mod $5$) är då
$$1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,\ldots,1,2,3,4,0,1,$$
där sista ettan motsvarar $3^{100}$ enligt (b). Nu är $1+2+3+4+0\equiv5 0$, så hela summan ger rest $1$.