Uppgift 2
Ekvationen $z^4 - 8z^3 + 27z^2 - 50z + 50 = 0$ har $z_1 = 3 + i$ som en rot. Finn övriga rötter $z \in \mathbb{C}$.
Hela algebra · 2023-08-10
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Eftersom vi har reella koefficienter är $z_2=3-i$ också en rot, så
$$
(z-3-i)(z-3+i)=z^2-6z+10
$$
är en faktor. Polynomdivision ger sedan att
$$
z^4-8z^3+27z^2-50z+50=(z^2-6z+10)(z^2-2z+5).
$$
Ekvationen $z^2-2z+5=0$ har nu (via $pq$-formeln) lösningarna $z_3=1+2i$, $z_4=1-2i$.