Hela algebra · 2023-08-10

Uppgift 3

Svara på följande frågor.

(a)

Hur många 6-siffriga tal kan bildas av 1, 2, 3, 4, 5, 6, så att varje siffra förekommer exakt en gång.

(b)

Hur många 6-siffriga tal kan bildas av 1, 1, 2, 2, 2, 5, där 1 förekommer två gånger, 2 förekommer tre gånger och 5 förekommer en gång?

(c)

Bland 1260 ord, så finns det 120 ord där aa förekommer, 120 ord där bb förekommer och 24 ord där både aa och bb förekommer. Hur många av orden uppyller att varken aa eller bb förekommer?

(Notera att bland de 120 ord som innehåller aa, så får bb också förekomma, och vice versa för de ord som innehåller bb.)

Visa lösningDölj lösning

(a) Eftersom alla siffror är olika finns det $6!$ 6-siffriga tal.

(b) Om alla siffror vore olika så finns det $6!$ olika tal. Det finns $2!$ sätt att permutera de två ettorna som är lika, och $3!$ sätt att permutera de tre tvåorna, så bland de $6!$ talen förekommer varje permutation $2!\cdot3!$ gånger. Delar vi med denna faktor får vi svaret
$$\frac{6!}{2!\cdot3!}=60.$$

(c) Vi använder inklusions-exklusion: Låt $U$ vara alla ord, låt $A$ vara orden med aa och $B$ orden med bb. Vi söker
$$ (A\cup B)^c=|U|-|A|-|B|+|A\cap B|, $$
som för oss blir
$$1260-120-120+24=1044.$$