Hela algebra · 2023-08-10
Beräkna inversen till matrisen $A$ nedan och lös ekvationssystemet:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{respektive} \qquad \begin{cases}2x + y + z = 3 \\ 3x + 2y + z = 4 \\ x + y + z = -2.\end{cases}$$
Vi ställer upp matrisen bredvid identitetsmatrisen, som vi sedan Gauss-eliminerar:
$$
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
2&1&1&1&0&0\\
3&2&1&0&1&0\\
1&1&1&0&0&1
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&1&1&0&0&1\\
2&1&1&1&0&0\\
3&2&1&0&1&0
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&1&1&0&0&1\\
0&-1&-1&1&0&-2\\
0&-1&-2&0&1&-3
\end{array}\right).
$$
Vi byter tecken i rad $2$, och eliminerar i rad $1$ och $3$:
$$
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&0&-1\\
0&1&1&-1&0&2\\
0&0&-1&-1&1&-1
\end{array}\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&0&-1\\
0&1&0&-2&1&1\\
0&0&1&1&-1&1
\end{array}\right).
$$
Inversen blir alltså
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.$$
Notera att $A$ är koefficientmatrisen för ekvationssystemet och att $A$ är inverterbar. Detta innebär att systemet har en unik lösning som ges av
$$
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}5\\-4\\-3\end{pmatrix}.
$$
Systemet har alltså lösningen $x=5$, $y=-4$, $z=-3$.