(a) Vi tar kryssprodukten av vektorerna. Enligt determinanttricket ges denna av
$$
\begin{vmatrix}
\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\
1&2&1\\
3&1&2
\end{vmatrix}
=\mathbf e_1(2\cdot2-1\cdot1)-\mathbf e_2(1\cdot2-3\cdot1)
+\mathbf e_3(1\cdot1-3\cdot2)
=(3,1,-5).
$$
Denna är ortogonal mot både $\mathbf u$ och $\mathbf v$.
(b) Vi har att $\lvert\mathbf f_1\rvert=1$ då N:et i ON står för normerad, dvs. längd $1$. Vidare är $\mathbf f_1\cdot\mathbf f_2=0$ då vektorer är parvis ortogonala. Slutligen är
$$\mathbf f_3\cdot\mathbf f_3=\lvert\mathbf f_3\rvert^2=1^2=1.$$
(c) För att de två första raderna ska vara ortogonala har vi att
$$
(a,6,9)\cdot(9,-6,2)=0
\Longrightarrow9a-36+18=0
\Longrightarrow a=2.
$$
De två första kolonnerna ska också vara ortogonala, så
$$
(2,9,6)\cdot(6,-6,b)=0
\Longrightarrow12-54+6b=0
\Longrightarrow b=7.
$$
Slutligen ska första och sista kolonnen också vara ortogonala, så
$$
(2,9,6)\cdot(9,2,c)=0
\Longrightarrow18+18+6c=0
\Longrightarrow c=-6.
$$
Matrisen blir då
$$
\frac1{11}\begin{pmatrix}2&6&9\\9&-6&2\\6&7&-6\end{pmatrix}.$$