Uppgift 4
(a)
Avgör om den generaliserade integralen $\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx$ är divergent eller konvergent och bestäm i så fall dess värde.
(b)
Derivera funktionen $f(x)=\int_0^{\sin(x)}e^{t^2}\,dt$.
Analys I · 2023-10-23
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
(a) Partialintegrering ger
$$\int xe^{-2x}\,dx=-\frac{e^{-2x}}2x+\frac12\int e^{-2x}\,dx=-\frac{e^{-2x}}2x-\frac{e^{-2x}}4+C=-\frac{e^{-2x}}4(1+2x)+C$$
så $\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx=\lim_{N\to\infty}\left[-\frac{e^{-2x}}4(1+2x)\right]_0^N=\lim_{N\to\infty}\left(\frac14-\frac{1+2N}{4e^{2N}}\right)=\frac14$.
(b) Analysens huvudsats ger direkt att $f'(x)=e^{\sin^2(x)}\cos(x)$.