Uppgift 3

(a) Med partialintegrering får vi $\int x^3\ln(x)\,dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac{x^4}4\frac1x\,dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac14\int x^3\,dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+C=\frac{x^4}{16}(4\ln(x)-1)+C$.

(b) Vi bestämmer först den primitiva funktionen $\int\frac1{1+4x^2}\,dx=\left[\begin{array}{c}u=2x\\du=2dx\end{array}\right]=\frac12\int\frac1{1+u^2}\,du=\frac12\arctan(u)+C=\frac12\arctan(2x)+C$, så vi får
$$\begin{aligned}\int_{1/2}^\infty\frac1{1+4x^2}\,dx&=\lim_{N\to\infty}\int_{1/2}^N\frac1{1+4x^2}\,dx=\lim_{N\to\infty}\left[\frac12\arctan(2x)\right]_{1/2}^N\\&=\lim_{N\to\infty}\frac12\left(\arctan(2N)-\frac\pi4\right)=\frac\pi8.\end{aligned}$$