Uppgift 3

(a) Med partialintegrering får vi $\int xe^{7x}\,dx=x\frac{e^{7x}}7-\int\frac{e^{7x}}7\,dx=\frac{7x-1}{49}e^{7x}+C$.

(b) Vi börjar med en substitution och fortsätter med partialintegrering och får:
$$\begin{aligned}\int_0^{\pi^2}\sin(\sqrt x)\,dx&=\left[\begin{array}{c}u=\sqrt x,\\x=u^2\\dx=2u\,du\end{array}\right]=\int_0^\pi\sin(u)2u\,du\\&=[-\cos(u)2u]_0^\pi-\int_0^\pi(-\cos(u))2\,du=2\pi+[2\sin(u)]_0^\pi=2\pi.\end{aligned}$$
(c) Vi får $\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\left[\begin{array}{c}t=e^x\\dt=e^x\,dx\end{array}\right]=\int\frac1{1+t^2}\,dt=\arctan(t)+C=\arctan(e^x)+C$ så
$$\int_0^\infty\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\lim_{N\to\infty}(\arctan(e^N)-\arctan(e^0))=\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4.$$