Analys I · 2024-10-28
Undersök om de följande gränsvärdena existerar och beräkna dem i så fall med metoderna från kursen (särskilt, utan att använda l’Hospitals regel).
$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)$
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{\ln(x+1)}$
(a) Förlängning med konjugatuttrycket ger $$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}=\frac{x^2+x+1-(x^2+2)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+2}}=\frac{1-1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^2}+\sqrt{1+2/x^2}}\to\frac{1}{1+1}=\frac12,$$ då $x\to\infty$.
(b) Med standardgränsvärden får vi $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{\ln(x+1)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{7x}\cdot\frac{x}{\ln(x+1)}\cdot7=7.$$