MM2001 · Analys I
Undersök om de följande gränsvärdena existerar och beräkna dem i så fall med metoderna från kursen (särskilt, utan att använda l’Hospitals regel).
$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}\right)$
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{\ln(x+1)}$
(a) Förlängning med konjugatuttrycket ger $$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2}=\frac{x^2+x+1-(x^2+2)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+2}}=\frac{1-1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^2}+\sqrt{1+2/x^2}}\to\frac{1}{1+1}=\frac12,$$ då $x\to\infty$.
(b) Med standardgränsvärden får vi $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{\ln(x+1)}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{7x}\cdot\frac{x}{\ln(x+1)}\cdot7=7.$$
Låt
$$g(x)=x\ln(x),\qquad x>0.$$
Undersöka funktionens beteende och skissa grafen till $g$.
Ange speciellt alla lokala extrempunkter samt ett intervall där $g$ är avtagande.
Anmärkning: Din undersökning och skiss ska också visa tydligt vad som händer på randen av definitionsmängden. Konvexitetsegenskaper och asymptoter behöver dock ej undersökas!
Skissa utifrån dina resultat i (a) (utan vidare beräkningar) grafen till funktionen
$$h(x)=\lvert x\rvert\ln(\lvert x\rvert),\qquad x\ne 0.$$
(a) $$g'(x)=\ln x+1.$$ Därför är $g'(x)=0$ precis då $x=e^{-1}$. Teckentabellen visar att $g$ avtar på $]0,1/e]$ och växer på $[1/e,\infty[$. Vidare är $$g(e^{-1})=-\frac1e,\qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to\infty}x\ln x=+\infty.$$ Alltså har $g$ en lokal minimipunkt i $x=1/e$ och ingen lokal maximipunkt.
(b) $h(-x)=h(x)$, dvs. $h$ är jämn. För $x>0$ gäller $h(x)=g(x)$, dvs. $h$ överensstämmer med $g$ för $x>0$.
Betrakta funktionen
$$f(x)=\arctan\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\right).$$
Beräkna funktionens derivata $f'$.
Ange den största möjliga definitionsmängden för $f$.
Är $f$ jämn, udda eller varken eller? Motivering krävs.
Beräkna $\lim_{x\to\infty}f(x)$.
Skissa grafen till $f$.
(a) $$f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot\frac{2}{(1-x)^2}+\frac{1}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}\cdot\frac{-2}{(1+x)^2}=0.$$
(b) (i) $f$ är definierad då $x\ne\pm1$, alltså $$D_f=\{x\in\mathbb R:x\ne1,\ x\ne-1\}.$$
(ii) $$f(-x)=\arctan\frac{1-x}{1+x}+\arctan\frac{1+x}{1-x}=f(x),$$ så $f$ är jämn.
(iii) $$\lim_{x\to\infty}f(x)=2\arctan(-1)=-2\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}.$$
(iv) Eftersom $f'(x)=0$ för $x\ne\pm1$ är $f$ konstant i varje delintervall av definitionsmängden. Dessutom är $f(0)=2\arctan(1)=\pi/2$. Skissen består därför av tre konstanta delar, med värdet $\pi/2$ på $]-1,1[$ och värdet $-\pi/2$ på de två yttre intervallen.
Bestäm $\int\frac{\sin(2x)}{\sin^5(x)}\,dx$.
Avgör om den generaliserade integralen $\int_0^\infty(x^2+3x)e^{-x}\,dx$ är konvergent eller divergent och bestäm i så fall dess värde.
(a) $$\int\frac{\sin(2x)}{\sin^5(x)}\,dx=\int\frac{2\sin x\cos x}{\sin^5x}\,dx=2\int\frac{\cos x}{\sin^4x}\,dx=-\frac{2}{3\sin^3x}+C.$$
(b) Vi beräknar först primitivfunktionen. Med partiell integration får vi $$\int(x^2+3x)e^{-x}\,dx=(x^2+3x)(-e^{-x})-\int(2x+3)(-e^{-x})\,dx=e^{-x}(-x^2-5x-5).$$ Därför blir den generaliserade integralen $$\lim_{B\to\infty}\left[e^{-x}(-x^2-5x-5)\right]_0^B=5,$$ eftersom $e^{-B}(-B^2-5B-5)\to0$.
Visa utifrån derivatans definition: Om en funktion $f$ är deriverbar, så är även funktionen $g(x)=(f(x))^2$ deriverbar och $g'(x)=2f(x)f'(x)$.
Ange för vart och ett av de följande påståendena om det är sant eller ej.
Endast motiverade svar kan ge poäng!
För varje lokal extrempunkt $x=a$ av en funktion $h$ gäller att $h'(a)=0$.
Om $h$ har en primitiv funktion $H$ som är icke-negative, dvs $H(x)\ge 0$ för alla $x$ i definitionsintervallet, så är $h$ växande.
(a) Vi visar att $g(x)$ är deriverbar i $x$: $$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac{f(x+h)^2-f(x)^2}{h}=\frac{(f(x+h)-f(x))(f(x+h)+f(x))}{h}.$$ Då $h\to0$ får vi $$\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h=f'(x)\cdot2f(x),$$ eftersom $f$ är kontinuerlig (ty deriverbar). Alltså är $g$ deriverbar med derivatan $g'=2f\cdot f'$.
(b) (i) Falskt: lokala extrempunkter kan även finnas på randen av definitionsmängden, eller i punkter där $h$ ej är deriverbar.
(ii) Falskt. Till exempel $h(x)=1/x$, $x\ge1$, har primitivfunktionen $H(x)=\ln x$, $x\ge1$, men $h$ är avtagande.