Analys I · 2024-10-28

Uppgift 2

Hela tentan

Uppgift 2

(a)

Låt

$$g(x)=x\ln(x),\qquad x>0.$$

Undersöka funktionens beteende och skissa grafen till $g$.

Ange speciellt alla lokala extrempunkter samt ett intervall där $g$ är avtagande.

Anmärkning: Din undersökning och skiss ska också visa tydligt vad som händer på randen av definitionsmängden. Konvexitetsegenskaper och asymptoter behöver dock ej undersökas!

(b)

Skissa utifrån dina resultat i (a) (utan vidare beräkningar) grafen till funktionen

$$h(x)=\lvert x\rvert\ln(\lvert x\rvert),\qquad x\ne 0.$$

Visa lösningDölj lösning

(a) $$g'(x)=\ln x+1.$$ Därför är $g'(x)=0$ precis då $x=e^{-1}$. Teckentabellen visar att $g$ avtar på $]0,1/e]$ och växer på $[1/e,\infty[$. Vidare är $$g(e^{-1})=-\frac1e,\qquad \lim_{x\to0^+}x\ln x=0,\qquad \lim_{x\to\infty}x\ln x=+\infty.$$ Alltså har $g$ en lokal minimipunkt i $x=1/e$ och ingen lokal maximipunkt.

(b) $h(-x)=h(x)$, dvs. $h$ är jämn. För $x>0$ gäller $h(x)=g(x)$, dvs. $h$ överensstämmer med $g$ för $x>0$.