Analys I · 2024-10-28
Visa utifrån derivatans definition: Om en funktion $f$ är deriverbar, så är även funktionen $g(x)=(f(x))^2$ deriverbar och $g'(x)=2f(x)f'(x)$.
Ange för vart och ett av de följande påståendena om det är sant eller ej.
Endast motiverade svar kan ge poäng!
För varje lokal extrempunkt $x=a$ av en funktion $h$ gäller att $h'(a)=0$.
Om $h$ har en primitiv funktion $H$ som är icke-negative, dvs $H(x)\ge 0$ för alla $x$ i definitionsintervallet, så är $h$ växande.
(a) Vi visar att $g(x)$ är deriverbar i $x$: $$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac{f(x+h)^2-f(x)^2}{h}=\frac{(f(x+h)-f(x))(f(x+h)+f(x))}{h}.$$ Då $h\to0$ får vi $$\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h=f'(x)\cdot2f(x),$$ eftersom $f$ är kontinuerlig (ty deriverbar). Alltså är $g$ deriverbar med derivatan $g'=2f\cdot f'$.
(b) (i) Falskt: lokala extrempunkter kan även finnas på randen av definitionsmängden, eller i punkter där $h$ ej är deriverbar.
(ii) Falskt. Till exempel $h(x)=1/x$, $x\ge1$, har primitivfunktionen $H(x)=\ln x$, $x\ge1$, men $h$ är avtagande.