Analys I · 2024-10-28
Betrakta funktionen
$$f(x)=\arctan\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\right).$$
Beräkna funktionens derivata $f'$.
Ange den största möjliga definitionsmängden för $f$.
Är $f$ jämn, udda eller varken eller? Motivering krävs.
Beräkna $\lim_{x\to\infty}f(x)$.
Skissa grafen till $f$.
(a) $$f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2}\cdot\frac{2}{(1-x)^2}+\frac{1}{1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2}\cdot\frac{-2}{(1+x)^2}=0.$$
(b) (i) $f$ är definierad då $x\ne\pm1$, alltså $$D_f=\{x\in\mathbb R:x\ne1,\ x\ne-1\}.$$
(ii) $$f(-x)=\arctan\frac{1-x}{1+x}+\arctan\frac{1+x}{1-x}=f(x),$$ så $f$ är jämn.
(iii) $$\lim_{x\to\infty}f(x)=2\arctan(-1)=-2\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}.$$
(iv) Eftersom $f'(x)=0$ för $x\ne\pm1$ är $f$ konstant i varje delintervall av definitionsmängden. Dessutom är $f(0)=2\arctan(1)=\pi/2$. Skissen består därför av tre konstanta delar, med värdet $\pi/2$ på $]-1,1[$ och värdet $-\pi/2$ på de två yttre intervallen.