Uppgift 4
(a)
Bestäm $\int\frac{\sin(2x)}{\sin^5(x)}\,dx$.
(b)
Avgör om den generaliserade integralen $\int_0^\infty(x^2+3x)e^{-x}\,dx$ är konvergent eller divergent och bestäm i så fall dess värde.
Analys I · 2024-10-28
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
(a) $$\int\frac{\sin(2x)}{\sin^5(x)}\,dx=\int\frac{2\sin x\cos x}{\sin^5x}\,dx=2\int\frac{\cos x}{\sin^4x}\,dx=-\frac{2}{3\sin^3x}+C.$$
(b) Vi beräknar först primitivfunktionen. Med partiell integration får vi $$\int(x^2+3x)e^{-x}\,dx=(x^2+3x)(-e^{-x})-\int(2x+3)(-e^{-x})\,dx=e^{-x}(-x^2-5x-5).$$ Därför blir den generaliserade integralen $$\lim_{B\to\infty}\left[e^{-x}(-x^2-5x-5)\right]_0^B=5,$$ eftersom $e^{-B}(-B^2-5B-5)\to0$.