Analys I · 2024-12-11
Undersök om de följande gränsvärdena existerar och beräkna dem i så fall med metoderna från kursen (särskilt, utan att använda l’Hospitals regel).
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^x}{x}$
$\lim_{x\to\infty}\bigl(\sin^4(x)-\cos(x)\bigr)\cdot e^{-x^3}$
$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos(2x)}$
(a) $$\frac{e^{2x}-e^x}{x}=e^x\frac{e^x-1}{x}\to e^0\cdot1=1,$$ då $x\to0$.
(b) $(\sin^4x-\cos x)e^{-x^3}\to0$, då uttrycket inom parentes är begränsat och $e^{-x^3}\to0$ då $x\to\infty$.
(c) $\frac{x}{1-\cos(2x)}=\frac{x}{2\sin^2x}=\frac12\frac{x^2}{\sin^2x}\frac1x.$ Då $x\to0^+$ och $x\to0^-$ går den sista faktorn mot $+\infty$ respektive $-\infty$. Alltså existerar inget gränsvärde.