MM2001 · Analys I
Undersök om de följande gränsvärdena existerar och beräkna dem i så fall med metoderna från kursen (särskilt, utan att använda l’Hospitals regel).
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^x}{x}$
$\lim_{x\to\infty}\bigl(\sin^4(x)-\cos(x)\bigr)\cdot e^{-x^3}$
$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos(2x)}$
(a) $$\frac{e^{2x}-e^x}{x}=e^x\frac{e^x-1}{x}\to e^0\cdot1=1,$$ då $x\to0$.
(b) $(\sin^4x-\cos x)e^{-x^3}\to0$, då uttrycket inom parentes är begränsat och $e^{-x^3}\to0$ då $x\to\infty$.
(c) $\frac{x}{1-\cos(2x)}=\frac{x}{2\sin^2x}=\frac12\frac{x^2}{\sin^2x}\frac1x.$ Då $x\to0^+$ och $x\to0^-$ går den sista faktorn mot $+\infty$ respektive $-\infty$. Alltså existerar inget gränsvärde.
Undersök följande funktionens beteende och skissa grafen till funktionen
$$g(x)=(x^2-3)e^x.$$
Ange speciellt alla lokala och globala extrempunkter.
Anmärkning: Konvexitetsegenskaper och asymptoter behöver dock ej undersökas!
Ange en definitionsmängd $D_f$ sådan att funktionen $f:D_f\to\mathbb{R}$, där $f(x)=(x^2-3)e^x$ har en värdemängd $V_f$ som endast innehåller negativa tal.
(a) Vi ser att $g$ är deriverbar i hela $\mathbb R$ och saknar symmetrier. $$g'(x)=(2x+x^2-3)e^x=(x+3)(x-1)e^x.$$ Teckentabellen ger en lokal maximipunkt i $x=-3$ och en global minimipunkt i $x=1$, med $$g(-3)=\frac6{e^3},\qquad g(1)=-2e.$$ Dessutom $$\lim_{x\to-\infty}(x^2-3)e^x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}(x^2-3)e^x=+\infty.$$
(b) Till exempel kan man välja $D_f=[-1,1]$, ty $f(x)=(x^2-3)e^x<0$ för $-1\le x\le1$.
Bestäm alla vertikala asymptoter av funktionen
$$f(x)=\frac{1}{x^2+x}e^{-1/x^2}.$$
Bestäm alla sneda asymptoter av funktionen
$$g(x)=\sqrt{4x^2-1}.$$
(a) Kandidater för vertikala asymptoter är nämnarens nollställen: $x^2+x=0$ precis då $x=0$ eller $x=-1$. För $x=-1$ får vi $$\lim_{x\to-1^+}\frac1{x^2+x}e^{-1/x^2}=-\infty,$$ så $x=-1$ är en asymptot. För $x=0$ får vi med $t=1/x$ då $x\to0^+$ $$\lim_{t\to+\infty}\frac1{1/t^2+1/t}e^{-t^2}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t^2}{t+1}e^{-t^2}=0,$$ så $x=0$ är ej asymptot.
(b) $$\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}x=\lim_{x\to\infty}\sqrt{4-\frac1{x^2}}=2.$$ Vidare $$\lim_{x\to\infty}(g(x)-2x)=\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-1-4x^2}{\sqrt{4x^2-1}+2x}=0,$$ alltså är $y=2x$ asymptot då $x\to+\infty$. På motsvarande sätt fås $y=-2x$ som asymptot då $x\to-\infty$.
Bestäm $\int(e^{2x}-e^{3x})\sin(e^x)\,dx$.
Beräkna $\int_1^4\frac{3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x^3+\sqrt{x}+2}\,dx$.
Anmärkning: Det finns en anledning att integranden inte är förenklad!
(a) Med variabelsubstitutionen $e^x=t$, dvs. $x=\ln t$ och $dx=dt/t$, får vi $$\int(e^{2x}-e^{3x})\sin(e^x)\,dx=\int(t^2-t^3)\sin t\,\frac{dt}{t}=\int(t-t^2)\sin t\,dt.$$ Partiell integration ger $$=(t^2-t)\cos t+(1-2t)\sin t-2\cos t+C,$$ dvs. $$\bigl(e^{2x}-e^x-2\bigr)\cos(e^x)+(1-2e^x)\sin(e^x)+C.$$
(b) $$\int_1^4\frac{3x^2+\frac1{2\sqrt x}}{x^3+\sqrt x+2}\,dx=\left[\ln\left(x^3+\sqrt x+2\right)\right]_1^4=\ln(64+2+2)-\ln4=\ln17.$$
Visa utifrån derivatans definition: Om en funktion $f$ är deriverbar och $f(x)\ne 0$, så är även funktionen $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ deriverbar och $g'(x)=-\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
I den här frågan är exempel efterfrågade. Exemplen kan ges genom att skissa grafen till en funktion!
Ange ett exempel på en funktion som är växande i intervallet $[-1,1]$ och avtagande i intervallet $[1,3]$.
Ange ett exempel på en funktion som är injektiv och har en lokal maximipunkt i $x=3$.
(a) $$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac{1/f(x+h)-1/f(x)}h=\frac{f(x)-f(x+h)}{h f(x+h)f(x)}=-\frac{f(x+h)-f(x)}h\cdot\frac1{f(x+h)f(x)}.$$ Då $h\to0$ får vi $-f'(x)/f(x)^2$, eftersom $f$ är deriverbar och därmed kontinuerlig. Alltså är $g$ deriverbar med $$g'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2}.$$
(b) I den här frågan är exempel efterfrågade. Exemplen kan ges genom att skissa grafen till en funktion! (i) Ett exempel på en funktion som är växande i $[-1,1]$ och avtagande i $[1,3]$. (ii) Ett exempel på en funktion som är injektiv och har en lokal maximipunkt i $x=3$.