Analys I · 2024-12-11
Undersök följande funktionens beteende och skissa grafen till funktionen
$$g(x)=(x^2-3)e^x.$$
Ange speciellt alla lokala och globala extrempunkter.
Anmärkning: Konvexitetsegenskaper och asymptoter behöver dock ej undersökas!
Ange en definitionsmängd $D_f$ sådan att funktionen $f:D_f\to\mathbb{R}$, där $f(x)=(x^2-3)e^x$ har en värdemängd $V_f$ som endast innehåller negativa tal.
(a) Vi ser att $g$ är deriverbar i hela $\mathbb R$ och saknar symmetrier. $$g'(x)=(2x+x^2-3)e^x=(x+3)(x-1)e^x.$$ Teckentabellen ger en lokal maximipunkt i $x=-3$ och en global minimipunkt i $x=1$, med $$g(-3)=\frac6{e^3},\qquad g(1)=-2e.$$ Dessutom $$\lim_{x\to-\infty}(x^2-3)e^x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}(x^2-3)e^x=+\infty.$$
(b) Till exempel kan man välja $D_f=[-1,1]$, ty $f(x)=(x^2-3)e^x<0$ för $-1\le x\le1$.